ANALYTIC CONTINUATION IN REPRESENTATION THEORY AND HARMONIC ANALYSIS by

— In this paper we discuss topics in harmonic analysis and representation theory related to two different real forms G/H and Gc/H of a complex semisimple symmetric space GC/HC. We connect representations of G and G c using the theory of involutive representations of semi-groups and reflection symmetry. We discuss how to generalize the Segal-Bargmann transform to real forms of bounded symmetric domains. This transform maps L2(H/H ∩ K) into the representation space of a highest weight representation ofG. We show how this transform is related to reflection symmetry, which shows that it is a natural transform related to representation theory. Finally we discuss the connection of the H-spherical characters of the representations and relate them to spherical functions. Résumé (Prolongement analytique en théorie des représentations et analyse harmonique) Dans cet article, nous considérons des questions en analyse harmonique et en théorie des représentations concernant deux formes réelles différentes G/H et Gc/H d’un espace symétrique semi-simple complexe GC/HC. Nous établissons un lien entre les représentations de G et de Gc à l’aide de la théorie des représentations involutives des semi-groupes et la symétrie de réflexion. On examine la question de la généralisation de la transformée de Segal-Bargmann aux formes réelles des domaines symétriques bornés. Cette transformée envoie l’espace Lc(H/H ∩K) dans l’espace de représentations d’une représentation du poids maximum de G. Nous montrons comment cette transformée est liée à la symétrie de réflexion, ce qui montre que c’est une transformée naturelle liée à la théorie des représentations. Finalement, on étudie la relation entre les caractères H−sphériques des représentations et les fonctions sphériques.